运动学基础 1

本文核心词：

飞鸟划过天际，翔鱼越出水面。在我们的生活中，运动是无处不在的。人们对于万物之理的认知，也是从运动开始。探究运动的规律，牛顿三大定理的提出，使得最初的物理体系被构建，宏观低速领域的力学概念由此也逐步建成。而我们，观察、理解、思考运动，也是学好物理必不可少的一部分。一．质点的运动在我们眼中的世界，运动随处可见。从家里（亦或是从宿舍），走进安一的教学楼，这个过程中，你运动着；早读铃声响起，你翻开书籍，你的手也在运动着。我们不难看出，这些运动都有共同的特性——运动的物体总是相对着另一个物体的位置（就像你相对着教学楼），或者一个物体的某些部分相对于其他部分的位置（像你的手相对你的躯干），随着时间而变化，我们把这个过程，叫做“机械运动”（mechanical motion）。为了更方便地研究机械运动，物理学家对于在研究过程中可以忽略大小、形态、内部结构影响的对象，建构了一个理想模型，那就是质点（一个具有质量的几何点）（mass point,particle）。由物体到几何点的抽象，体现了物理学简化问题的思想，也为运动学以及更多物理学领域关于复杂问题的处理提供了典范。二．参考系和坐标系

任何的运动都是相对的。运动会上的100m比赛，你与某位对手都在奋力奔跑，难分胜负，此时的你和那位对手相对的位置并没有随着时间发生变化，因此，你们彼此是相对静止的。可是对于观赛台上的其他同学们，你却是相对于他们相对运动的。在研究你跑步的这个运动的过程中，我们发现，选择不同的人作为参照物，你的运动的情况是不一样的。因此，在研究运动时，我们先得选择好一个参照物，才能确定运动。

如果想要更加了解运动的规律，不仅仅局限于定性的分析，而是定量地计算。那么，我们就需要以参考物为坐标原点，建立坐标系（coordinate system），我们把参考物连同其上建立的坐标系这个整体，并称为参考系（reference frame）。

当然，我们接触过的坐标系并不少，有直线坐标系（数轴），平面直角坐标系，等等。除此之外，在高中及以后的学习中，我们还会接触到更多，不仅有研究力学问题常用的空间直角坐标系、极坐标系，还有研究电磁学问题常见的球坐标系、柱坐标系······根据实际的问题，选择建立合适的坐标系，也是我们研究问题的重点。

三．标量和矢量

在初中阶段，我们学过不少物理量，例如：质量、长度、速率、力、功、能量······其中有些物理量既有大小，又有方向，我们称之为矢量（vector）（一般地，用一个带箭头的有向线段表示矢量，线段的长度表示矢量的大小，箭头所指的方向即为矢量的方向）；另一部分的物理量，只有大小，没有方向，我们把它们归为标量（scalar）。

在运动学和力学中，常见的矢量有：位移、速度、加速度、力，而常见的标量有：时间、路程、速率等等。

在张量理论中，我们把标量称作0阶张量，矢量称作1阶张量。而两种物理量的运算也是不完全相同的。对于标量的运算，我们通常采用基本的代数运算法则（例如：加减乘除等等）；而对于矢量的运算，我们运用线性运算（平行四边形法则或者三角形法则），下面主要介绍矢量的线性运算的两种法则。

先介绍平行四边形法则。如左图，有两个矢量a，b（印刷体中用加粗字体表示矢量，书面体中用字母上面加上一个箭头“→”表示向量），那么将a，b的起点移到同一个位置，然后再以a，b为两边作出如下图所示的平行四边形，连接起点所在的对角线，那么矢量c即为a，b的矢量和，记作：c=a+b。对于矢量b而言，若在b前加上一个负号，写成“-b”，那么“-b”就表示b的相反矢量（大小相同方向相反的矢量）。

如上图，矢量OP与矢量OQ就是一对相反向量。引入相反矢量，我们也可以从已有的矢量和运算，得到矢量差的运算。对于下图中的向量b，作出它的相反向量d，则可以得到关系式：d=-b，那么c-b=c+d，再运用平行四边形矢量和的法则，进行运算即可得到c-b=a。

三角形法则的实质就是平行四边形法则，但是在处理矢量的线性运算上，还是有一些区别的。如下图，需要将相加的向量a，b首尾相连，再将两个矢量的另一端相连，并且指向b的终点，得到矢量。类似于平行四边形法则的减法，也可以将减去的矢量作出它的相反矢量，再将被减矢量与它进行矢量的加法运算。但是三角形法则还有另一种处理减法的方法：对于c-a=b，只

需将矢量a，c共起点，再连接两个终点，得到的矢量b，它的方向指向被减向量c即可。

在笛卡尔坐标系中，向量可用终点坐标对应地减去起点坐标来表示（比如：已知A（1，3），B（6,0），则矢量AB=（6-1,0-3）=（5，-3））。如果将矢量的起点移到坐标系原点O，则矢量的终点坐标即可以表示该矢量。这种表示矢量的方法，又可以叫做矢量的坐标表示

三．位置矢量

了解了什么是矢量，我们就可以用矢量来表示从参照物到研究对象。用来表示参照物与质点的位置关系，我们引入位置矢量r（简称“位矢”，position vector）：以参照物（坐标系中的原点）为起点，指向研究的质点的一个矢量。就像下图，质点A（x，y，z）与参照物O点的位置

关系可以由位置矢量r=OA=（x，y，z）。运用矢量的运算法则，我们也可以对位置矢量进行分解。这里，可以将位置矢量r分解成为各个坐标轴上的分矢量，表示成r=x i+y j+z k（其中i，j，k分别是x，y，z轴上的单位矢量（长度为1的向量），这样，乘上相应的坐标得到的矢量，就是在对应的坐标轴上的分量，相加则可以得到总的位置矢量r）。根据长方体的体对角线计算公式（体对角线长度的平方=长的平方+宽的平方+高的平方），可以得到位置矢量r的大小，表示成|r|=√(x²+y²+z²)。

四．运动学方程

我们把质点的位置矢量关于时刻的变化叫做质点的运动学方程，表示为r（t）=x（t）i+y（t）j+z（t）k。若表示成分量式，则为：x=x（t），y=y（t），z=z（t）。

如果把运动学方程中的时间t消去，则可以得到质点的轨迹方程。

（本次撰写：安庆一中奇点物理社张睿）